Le paradoxe de Banach-Tarski est un résultat mathématique de géométrie set-théorique qui a été formulé pour la première fois en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski.
Il affirme qu’il est possible de décomposer une boule pleine tridimensionnelle en un nombre fini de sous-ensembles disjoints, qui peuvent ensuite être reconstitués d’une manière différente pour obtenir deux boules identiques à la boule originale [1].
Ce paradoxe a initialement conduit de nombreux mathématiciens à remettre en question l’inclusion du Principe de Choix dans notre liste standard d’axiomes, tout comme le paradoxe de Russell l’avait fait [2].
Le nombre de pièces nécessaire pour effectuer la transformation a été réduit à cinq par Robinson en 1947 [3].
Le paradoxe a également des implications sur la théorie des ensembles, la théorie des mesures et la théorie des groupes, et a des applications en physique théorique et en informatique [4].
[1] « The Banach-Tarski paradoxis a theoremin set-theoreticgeometry, which states the following: Given a solid ballin three-dimensional space, there existsa decomposition of the ball into a finite number of disjointsubsets, which can then be put back together in a different way to yield two identical copies of the original ball. »
URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox
[2] « the Banach-Tarski Paradox initially caused many mathematicians to question the inclusion of Choice in our standard list of axioms, just as Russells paradox had … One such de nition is the Lebesgue measure (which is in fact countably additive). However, there is a serious caveat: it will turn out that it is not de ned for all sets. … »
URL: http://web.mit.edu/andersk/Public/banach-tarski.pdf
[3] « Banach-Tarski Paradox First stated in 1924, the Banach-Tarski paradox states that it is possible to decompose a ball into six pieces which can be reassembled by rigid motions to form two balls of the same size as the original. The number of pieces was subsequently reduced to five by Robinson (1947), although the pieces are extremely complicated. »
URL: https://mathworld.wolfram.com/Banach-TarskiParadox.html
[4] « The Banach-Tarski paradox is a theorem which states that the solid unit ball can be partitioned into a nite number of pieces, which can then be reassembled into two copies of the same ball. This result at rst appears to be impossible … De nition 2.1. A free group is a group such that any two words on a speci ed set »
URL: https://math.uchicago.edu/~may/REU2014/REUPapers/Robinson.pdf
